古崎物性理論研究室

研究概要

当研究室では、マクロな大きさをもった物質の示すいろいろな性質を、ミクロな世界を司る物理法則（量子力学や統計力学）に基づいて理論的に解明することを目指して研究している。無限大の自由度を持った多電子系では、自発的に対称性の破れた秩序相が低温で現れ、温度・磁場・圧力などの変化とともに相転移が起きる。遷移金属酸化物や分子性導体などの強相関電子系における超伝導や磁性はその典型例であり、これらの量子現象の普遍性と物質に即した多様性を研究する。

三角格子や籠目格子上の反強磁性体などのフラストレーションの強い量子スピン系では、磁気秩序の形成が抑えられて非自明な秩序状態が生じる。その一例であるスピン・ネマティック相やベクトル・カイラル相の性質について研究している。また、局所的秩序変数をもたないトポロジカル秩序相や、量子（スピン）ホール系などのトポロジカル絶縁体やトポロジカル超伝導体に関する研究も行っている。

ランダムなポテンシャル中の電子波動関数が示す局在・非局在転移（アンダーソン転移）は、乱れによって生じる量子相転移現象の一種である。この量子相転移の普遍的な性質についても研究している。

最近の研究成果

乱れによって生じる普遍性

不純物や格子欠陥を多く含んだ固体中では、電子が不純物等によって頻繁に散乱されて電気伝導性が悪くなる。このような乱れた電子系では、乱れを強くしていくと量子干渉効果によって電子が局在し（アンダーソン局在）、金属から絶縁体への相転移が起こる。金属・絶縁体転移は乱れによって生じる量子相転移現象である。金属・絶縁体転移の相転移点では、電子の波動関数は空間的に広がっている状態と局在している状態の両方の性格をもち、波動関数振幅はフラクタル的な複雑な空間変化を示す（図１）。我々は、この相転移点近傍であらわれる臨界現象の普遍的な性質の解明を目指している。２次元空間で転移点（臨界点）をもつ（スピン軌道相互作用の強い系に対応する）シンプレクティック対称類と（量子ホール系に対応する）ユニタリ対称類に属す模型について、数値シミュレーションにより局在長の発散を特徴づける臨界指数や臨界波動関数のマルチフラクタル・スペクトルを計算し、理論予想との比較を行った。

乱れのない２次元系の連続相転移では、臨界点で実現する共形不変性のため、普遍的な性質は共形場理論によって記述できることが知られている。一方、乱れた系の連続相転移に対しては、共形不変性が成り立つのかわかっていなかった。我々は、２次元系の辺と角における臨界波動関数のマルチフラクタル・スペクトルを数値的に比較し、それらが共形不変性の仮定の下で成り立つ関係式を満たすことを示した（図２）。さらに、2次元系のフラクタル指数と擬１次元系の局在長が対数変換の下で結びつくことを明らかにした。これらの結果は、２次元系のアンダーソン臨界点が共形不変性をもつことを強く支持し、乱れた系の連続相転移においても共形場理論（ただし非ユニタリ理論）が背後にあることを意味する。これは、（アンダーソン局在に代表される）乱れによる２次元量子相転移を記述する（非ユニタリ）共形場理論が何かという、難問の解決に向けてのささやかな一歩である。

乱れた系の輸送現象の有効理論に非線型シグマ模型がある。２次元シンプレクティック類では、非線型シグマ模型がZ2トポロジカル項をもちうることがホモトピー理論から知られていた。我々は、ランダムなスカラー・ポテンシャル中を運動するディラック粒子に対して、その伝導を記述する非線型シグマ模型が実際にZ2トポロジカル項をもつことを示した。このようなディラック粒子は３次元Z2トポロジカル絶縁体の表面励起状態として実現するが、Z2トポロジカル項の非摂動効果によって決して局在しない。この考え方を拡張して、非線形シグマ模型のトポロジカル項の有無を一般の一粒子ハミルトニアンに対して調べることにより、任意の空間次元に対して、トポロジカル絶縁体やトポロジカル超伝導体の対称性にもとづいた一般的な分類理論を構築した。トポロジカル絶縁体とは、（整数）量子ホール系のように系の端（３次元の場合は表面）に線形のエネルギー分散のフェルミオン励起をもつバンド絶縁体である。最近、時間反転対称な2次元および3次元のZ2トポロジカル絶縁体が発見されて注目を集めているが、アンダーソン局在の観点からはそれらは端（表面）励起が決して局在しないトポロジカルに安定な状態にあるといえる。また、トポロジカル超伝導体（超流動体）は、系の端（あるいは表面）にのみギャップレスのフェルミオン励起をもち、その例にはヘリウム３の超流動B相がある。端（表面）励起は通常のフェルミオンではなく、マヨラナ・フェルミオンとよばれる新しいタイプの粒子であり、新しい物理の可能性を秘めている。

図1 臨界波動関数の振幅の空間変化

振幅の等高線はフラクタル的になっている。

図2 系の中心部(ピンク)、辺(青)、45°の角(水色)、90°の角(赤)、135°の角(緑）付近での臨界波動関数振幅のマルチフラクタル・スペクトルf(α)

辺のスペクトル(青)から共形不変性の下で成り立つ関係式に従って計算した、角付近でのスペクトルの理論曲線を実線で示した。理論曲線は直接の数値計算結果（データ点）とよく一致している。